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　　第十章 动态筹备 §1众阶段决定经过最优化题目举例 §2基础观念、基础方程与最优化道理 §3动态筹备的利用(1) §4动态筹备的利用(2) §1众阶段决定经过最优化题目举例 例1 最短旅途题目 下图示意从出发点A到尽头E之间各点的隔绝□。求A到E的最 短旅途。 §1众阶段决定经过最优化题目举例 用穷举法的计较量: 要是从A到E的站点有k个，除A、E除外每站有3个职位则 总共有3k-1×2条旅途； 计较各旅途长度总共要举行 (k+1) 3k-1×2次加法以及3k- 1×2-1次比拟。跟着 k 的值填补时经营ppt，需求举行的加法和比拟的 次数将缓慢填补； 比方当 k=20时□，加法次数为 4.27×1015 次， 比拟 1.77×1014 次。若用1亿次/秒的计较机计较 需求约508天○□。 §1众阶段决定经过最优化题目举例 咨询： 1、以上求从A到E的最短旅途题目，可能转化为四性格子一律相 同，但领域较小的子题目□，即划分从Di 、Ci、Bi、A到E的最短途 径题目。 第四阶段：两个始点D1和D2□，尽头惟有一个； 外10-1 明白得知：从D1和D2到E的最短旅途独一。 §3动态筹备的利用(1) §3动态筹备的利用(1) 四、体例牢靠性题目 例5.某科研项目组由三个小组用分歧的技术划分筹议□○，它们退步的概率各为0.40○○，0.60，0.80。为了裁汰三个小组都退步的可以性，现裁夺给三个小组中增派两名高级科学家□，到各小组后，各小组科研项目退步概率如下外： 问怎样分拨科学家本领使三个小组都退步的概率（即科研项目最终退步的概率）最小？ §3动态筹备的利用(1) 解：用逆序算法。设 阶段：每个筹议小组为一个阶段□○，且 §3动态筹备的利用(1) 计较 当n=3时， 当n=2时， §3动态筹备的利用(1) 当n=1时□□， 最优解为 x1*=1，x2*=0○○，x3*=1；科研项目最终退步的概率为0.060○。 §4动态筹备的利用(2)* 一、一连确定性动态筹备 对待形态变量和决定变量只取一连值□○，经过的演变办法为确定性时，这种动态筹备题目就称为一连确定性动态筹备题目。 §4动态筹备的利用(2)* 呆板负荷分拨题目 例1 一种呆板能正在崎岖两种分歧的负荷形态下任务□。设呆板正在高负荷下临蓐时，产量函数为P1=8u1，此中u1为正在高负荷形态下临蓐的呆板数目，年完满率为a=0.7○，即到岁尾有70％的呆板依旧完满○○。正在低负荷下临蓐时，产量函数为P2=5u2，此中u2为正在低负荷形态下临蓐的呆板数目，年完满率为b=0.9○□。设最先临蓐时共有1000好的呆板□□，请问每年该当怎样把完满呆板分拨给高、低两种负荷下临蓐，本领使得5年内临蓐的产物总产量最高。 §4动态筹备的利用(2)* 解 作战动态筹备模子： 分为5个阶段，每个阶段为1年○○。设形态变量sk示意正在第k阶段初具有的完满呆板数目；k=1,2,3,4,5。 决定变量xk示意第k阶段平分配给高负荷形态下临蓐的呆板数目；k=1,2,3,4,5。昭着sk-xk为分拨给低负荷形态下临蓐的呆板数目。 形态蜕变方程为 sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk) 阶段目标 rk(sk,xk)=8xk+5(sk-xk) 最优目标函数 ，其 中k=1,2,3,4,5□。 f6(s6)=0。 §4动态筹备的利用(2)* 第5阶段： 由于f5(s5)是x5的线阶段： §4动态筹备的利用(2)* 同样的，f4(s4)是x4的线○。 对前几个阶段依序类推，可得 f3(s3)=17.5s3○□， f2(s2)=20.75s2□， f1(s1)=23.72s1○。 由于期初共有完满呆板1000台，故s1=1000。有f1(s1)=23.72s1 ＝23720，即5年最大的产量为23720台。得最优解为 ， ， □， □□。 这意味着前两年应把岁首完满呆板一律加入低负荷临蓐， 后三年应把岁首完满呆板一律加入高负荷临蓐。 §4动态筹备的利用(2)* 下一步任务是确定每岁首的形态□○，根据旧日向后的依次依序计较出每年岁首完满的呆板数目。已知s1=1000,遵照形态蜕变方程，有: §4动态筹备的利用(2)* 上面所咨询的最优战术经过，初始端形态s1=1000台是固定的○，尽头形态s6没有央浼○□。这种环境下取得最优决定称为初始端固定尽头自正在的最优战术。 要是尽头附加必然的条款○□，则题目就称为“终端固定题目”□。比方，原则正在第5年度完了时仍要依旧500台呆板完满（而不是278台），应怎样布置临蓐本领使得总产量最大？ 下面来明白： 遵照尽头条款有 可得 §4动态筹备的利用(2)* 昭着，因为固定了尽头的形态，x5的取值受到了 管束。于是有 好像的□○， 容易解得 ，f4(s4)=21.7s4-7500。 §4动态筹备的利用(2)* 依序类推□○，得 f3(s3)=24.5s3-7500 f2(s2)=27.1s2-7500 f1(s1)=29.4s1-7500 再采用依次办法递推计较各年的形态□，有 s1=1000□○， §4动态筹备的利用(2)* 可睹○，为了使尽头完满的呆板数目填补到500台□，需求布置前四年中全面完满呆板都要加入低负荷临蓐□○，且正在第5年○□，也只可全面加入高负荷○。 相应的最优目标为 f1(s1)=29.4s1-7500＝21900。 可能看到□，由于填补了附加条款，总产量f1(s1)要比尽头自正在环境下的产量要低○。 §4动态筹备的利用(2)* 二、离散随机性动态筹备 随机型的动态筹备是指形态的蜕变律是不确定的□□，即 对给定的形态和决定□○，下一阶段的抵达形态是具有确定概率 散布的随机变量○，这个概率散布由本阶段的形态和决定一律 确定□。随机型动态筹备的基础布局如下图： §4动态筹备的利用(2)* 图中N示意第k+1阶段可以的形态数□，p1、p2、…pN为给定形态sk和决定xk的条件下，可以抵达下一个形态的概率。ci为从k阶段形态sk蜕变到k+1 阶段形态为i时的目标函数值□□。 正在随机性的动态筹备题目中企业动态，因为下一阶段抵达的形态和阶段的效益值不确定，只可遵照各阶段的期待效益值举行优化。 离散随机性动态筹备 例2 某公司承受一种新产物研制义务，合同央浼三个月内交出一件及格的样品，不然将索赔2000元○□。遵照有体会的手艺职员推断，试成品及格的概率为0.4○，每次试制一批的装置费为200元□，每件产物的缔制本钱为100元○□。每次试制的周期为1个月□。问该怎样布置试制，每次临蓐众少件□○，本领使得期待用度最小？ 离散随机性动态筹备 解：把三次试制算作三个阶段（k=1,2,3）,决定变量xk示意第k次临蓐的产物的件数；形态变量sk示意第k次试制前是否依然临蓐出及格品○，要是有及格品○，则sk=0；要是没有及格品，记sk=1□。最优函数fk(sk)示意从形态sk、决定xk启航的第k阶段此后的最小期待用度□。故有fk(0)＝0。 临蓐出一件及格品的概率为0.4，以是临蓐xk件产物都不足格的概率为 ，起码有一件及格品的概率为1- ，故有形态蜕变方程为 离散随机性动态筹备 用C(xk)示意第k阶段的用度，第k阶段的用度包 括缔制本钱和装置用度，故有 遵照形态蜕变方程以及C(xk)，可取得 离散随机性动态筹备 要是3个月后没有试制出一件及格品，则要承受 2000元的罚金，于是有f4(1)=20。 当k=3时，计较如下外： 离散随机性动态筹备 当k=2时，计较如下外： 离散随机性动态筹备 当k=1时，有 离散随机性动态筹备 上面三个外中并没有列出xk取更大数值的环境，由于可能证据此后的C(xk)+ fk+1(1)的值是对xk枯燥填补的○□。 于是取得的最优战术是，正在第1个阶段试制2件产物；要是都不足格□，正在第2阶段试制3件产物；要是仍都不足格，则正在第3个阶段试制5件产物。该战术取得的最小的期待用度6.46。 离散随机性动态筹备 随机采购题目 例3 某公司打定正在5周内采购一批原料，另日5周内的原料的价值有三种，这些价值的显现概率可能推断，如下外○。该局限因为临蓐需求○，必需正在5周内采购这批原料□。要是第一周价值很高□○，可能比及第2周；同样的□，第2周要是仍对价值不舒服，可能比及第3周；好像地，另日几周都可以选取购置或者恭候○□，但必需保障第5周时采购了该原料。试问该选取哪种采购计划，本领使得采购用度最小？ 离散随机性动态筹备 解：作战动态筹备。根据采购周期分为5个阶段□□，将每周的价值看作该阶段的形态。假设形态变量sk示意第k周的现实价值，决定变量xk示意第k周是否采购的0-1变量。如裁夺采购，则xk=1；如选取恭候，则xk=0○。用skE示意第k周恭候□○，而正在此后选取最优决定时采购价值的期待值。 遵照界说， 动态筹备基础方程如下： 离散随机性动态筹备 第五阶段： 由于要是前4周都没有买，那第5周必需购置，因 此有f5(s5)=s5，即f5(450)=450；f5(470)=470； f5(500)=500。 第四阶段： 下面思量第4周的环境。 如第4周购置，则需花费s4；要是不买，则必需 正在第5周购置□○。正在第5周采购的用度的期待值为 离散随机性动态筹备 于是 □○，有 故第4周的最优决定为 同理，思量第3周的最优决定。 离散随机性动态筹备 第三阶段： 要是第3周采购□，则需花费s3；也要和第3周后再 采购的用度的期待值作比拟。 于是 ○，有 故第3周的最优决定为 离散随机性动态筹备 第二阶段： 同理可得 故第2周的最优决定为 离散随机性动态筹备 第一阶段： 同理可得 第1周的最优决定为 离散随机性动态筹备 由上可知，最优的采购战术为：正在第1、2、3周的市集价值为450时，该当顿时采购○，不然恭候；正在第4周时，若市集价值为450或470时，该当采购○，不然恭候。若比及第五周，只可采购。 ? ? 5 8.56 8.93 8.56 8.59 9.32 11.2 15 20 1 0 0 — — — — — — 0 0 6 5 4 3 2 1 0 x3* f3(s3) C(x3)+20× x3 s3 3 6.85 7.11 6.85 7.08 8.14 8.56 1 0 0 — — — — 0 0 4 3 2 1 0 x2* f2(s2) C(x2)+8.56× x2 s2 2 6.46 6.48 6.46 7.11 6.85 1 0 0 — — — 0 0 3 2 1 0 x1* f1(s1) C(x1)+6.85× x1 s1 0.40 500 0.35 470 0.25 450 概率 价值 第一阶段： 咱们已知，又由于 ○，同样有 由于 ,故可取值为0,1,2, … ,10□○。其数值计较 睹外10－13。 外10－13 §3动态筹备的利用(1) 从外10－13可知○○，从而得＝10 －0＝10□，正在外10－12的的这一行可知，由 ，查外10－11的的这一行可知 ，最终由，查外10-10的的这 一行得，综上所述得最优解为： 此时最大赢余为28。 现正在咱们没关系假设该商讨公司的任务盘算有所更正，惟有 8个任务日来惩罚这四类商讨项目，那么该商讨公司怎样选取 客户使得赢利最大呢？咱们不必从新最先重做这个题目，而只 要正在第一阶段上把改成8，从头计较就可取得结果，如外10－ 14所示，这是动态筹备的一个好处□○。 §3动态筹备的利用(1) 外10－14 如上相同可从外10－14,10－12,10－11,10－10取得两组最优解 如下： 它们的最优解（即最大赢余）都为22□○。 一朝商讨的任务日不是裁汰而是填补，那么咱们不只要从头计 算第一阶段，况且要正在第二、第三、第四阶段的计较外上补上填补 的任务日的新的消息，也可取得新的结果□。 §3动态筹备的利用(1) 现实上，背包题目咱们也可能用整数筹备来求解○，要是背包率领物品重量的限度为W公斤，这N种物品中第i种物品的重量为□，价钱为，第i种物品的总数目的□，咱们可能设示意率领第i种物品的数目，则其数学模子为： S.T. 且为整数。 咱们没关系用此模子去求解例3，也必然得出同样的结果□○。 §3动态筹备的利用(1) 三、临蓐与存贮题目 例4.某公司为重要电力公司临蓐大型变压器，因为电力 选取预订办法购置，以是该公司可能预测另日几个月的需求 量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月订定一项临蓐 盘算，这四个月的需求如外10－15所示○○。 临蓐本钱跟着临蓐数目而转变。调试费为4□，除了改变费 用外，每月临蓐的头两台各花费为2，后两台花费为1○。最大 临蓐才具每月为4台，临蓐本钱如外10－16所示。 外10－15 §3动态筹备的利用(1) 外10－16 每台变压器正在栈房中由这个月存到下个月的积聚费为1， 栈房的最大积聚才具为3台□，别的，了然正在1月1日时栈房里存 有一台变压器，央浼正在4月30日栈房的库存量为零。试问该公 司应怎样订定临蓐盘算，使得四个月的临蓐本钱和积聚总费 用起码○？ 解：咱们按月份来划分阶段，第i个月为第i阶段：（i=1,2,3,4). 设 为第k阶段期初库存量； k=1,2,3,4 §3动态筹备的利用(1) 为第k阶段临蓐量； k=1,2,3,4 为第k阶段需求量； k=1,2,3,4□，这已正在外10-15 中告诉咱们。 由于下个月的库存量等于上个月的库存量加上上个月的 产量减去上个月的需求量□○，咱们就取得了如下形态蜕变方 程： 由于，故有 由于○，故有 §3动态筹备的利用(1) 因为必必要知足需求，则有 通过移项取得 另一方面○□，第k阶段的临蓐量必不大于同期的临蓐才具 （4台），也不大于第k阶段至第四阶段的需求之和与第k阶段 期初库存量之差，不然第k阶段的临蓐量就要突出从第k阶段 至第四阶段的总需求，故有 以下咱们从第四阶段最先计较： 从以上的形态蜕变方程可知 如此就有 §3动态筹备的利用(1) 这里的阶段目标可能分成两局限，即临蓐本钱与 积聚费□□，即为 因为第四阶段末央浼库存为零○，即有， 如此可得 对待每个的可行值，的值列于外10－17○。 外10－17 §3动态筹备的利用(1) 外中当时，可知第四阶段要临蓐 台□，从外10－16可知总本钱为9□，同样可能算出当为1,2,3时 的环境，结果已列于外10－17中○○。 第三阶段： 此时有： 由于以及以是有 比方○，当第三阶段初库存量时，临蓐量为2时□， 则以是临蓐本钱为8□，第三阶段末库存 为2时□，积聚费为，而 §3动态筹备的利用(1) 查10－17外可知，如此可知□○， 填入外10－18中的栏内，其他结果如外10－18所 示 ： 外10－18 第二阶段： 由于以是有 §3动态筹备的利用(1) 计较结果如外10－19所示。 外10－19 §3动态筹备的利用(1) 第一阶段： 由于故有 计较结果睹外10－20。 外10－20 §3动态筹备的利用(1) 应用递推联系可能从外10－20○，外10－19，外10－18和外10－ 17取得两组最优解： 这时有最低总本钱29□○。 §3动态筹备的利用(1) 0.30 0.20 0.15 2 0.50 0.40 0.20 1 0.80 0.60 0.40 0 3 2 1 小组 高级科学家 3 2 1 小组 3 2 1 阶段 2 0．30 2 1 0．50 1 0 0．80 0 x3* f3*(s3) s3 2 0．16 0．16 0．20 0．18 2 0 0．30 0．32 0．30 1 0 0．48 0．48 0 2 1 0 x2* f2*(s2) f2(s2,x2)=P2(x2) ·f3*(s2-x2) x2 s2 0．072 2 0．060 1 0 0．060 f2*(s2) 1 x2* 0．064 f1(s1,x1)=P1(x1) ·f2*(s1-x1) 2 x1 s1 sk 形态 xk 决定 概率 k阶段的收益 p1 p2 pN …. k+1阶段的形态sk+1 c1 c2 cN 1 2 N * 管 理 运 筹 学 B A C B D B C D E C 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 6 4 7 2 4 8 3 8 6 7 5 6 1 10 6 3 7 5 1 E E E 本阶段最优尽头 （最优决定) 10* 6 本阶段各尽头（决定） 10 6 到E的最短隔绝 D1 D2 本阶段始点 （形态） 阶段4 第三阶段：有三个始点C1□，C2□，C3，尽头有D1○□，D2，对始点 和尽头举行明白和咨询划分求C1，C2，C3到D1，D2 的最短途 径题目： 外10-2 明白得知：要是进程C1○○，则最短途为C1-D2-E； 要是进程C2，则最短途为C2-D2-E； 要是进程C3，则最短途为C3-D1-E。 §1众阶段决定经过最优化题目举例 6+6=12 5+6=11 6+6=12 D2 D1 D2 D2 D1 本阶段最优尽头 （最优决定) 8+10=18 7+10=17 1+10=11 本阶段各尽头（决定） 12 11 11 到E的最短隔绝 C1 C2 C3 本阶段始点 （形态） 阶段3 第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4□○，尽头有C1,C2,C3。对始点和尽头举行分 析和咨询划分求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短旅途题目： 外10-3 明白得知：要是进程B1，则走B1-C2-D2-E； 要是进程B2，则走B2-C3-D1-E； 要是进程B3，则走B3-C3-D1-E； 要是进程B4○○，则走B4-C3-D1-E。 §1众阶段决定经过最优化题目举例 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12 C3 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16 C2 C1 C2 C3 C3 C3 本阶段最优尽头（最优决定) 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19 本阶段各尽头（决定） 12 13 14 12 到E的最短隔绝 B1 B2 B3 B4 本阶段始点 （形态） 阶段2 第一阶段：惟有1个始点A，尽头有B1,B2,B3,B4 ○□。对始点和终 点举行明白和咨询划分求A到B1,B2,B3,B4的最短旅途题目： 外10-4 最终，可能取得：从A到E的最短旅途为A? B4? C3? D1? E §1众阶段决定经过最优化题目举例 2+12=14 B4 3+14=17 B3 3+13=16 B2 B1 C2 本阶段最优尽头(最优决定) 4+12=16 本阶段各尽头（决定） 12 到E的最短隔绝 A 本阶段始点(形态) 阶段1 以上计较经过及结果，可用图2示意，可能看到，以上办法不只 取得了从A到D的最短旅途○，同时，也取得了从图中任一点到E的最 短旅途。 以上经过□，仅用了22次加法，计较成果远高于穷举法。 B A C B D B C D E C 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 6 4 7 2 4 8 3 8 6 7 5 1 6 10 6 0 10 6 12 11 11 12 13 14 14 12 7 5 1 2 §1众阶段决定经过最优化题目举例 一、基础观念： 1、阶段k：示意决定依次的离散的量○，阶段可能依时刻或空间划分。 2、形态sk：能确定地示意决定经过如今特点的量□○。形态可能是数目，也可能是字符，数目形态可能是一连的□，也可能是离散的。 3、决定xk：从某一形态向下一形态过渡时所做的选取。决定是所正在形态的函数，记为xk(sk)□□。 决定准许会集Dk(sk)：正在形态sk下，准许选取决定的总共○□。 4、战术Pk,n(sk)：从第k阶段最先到最终第n阶段的决定序列，称k子战术。P1,n(s1)即为全经过战术○□。 5、形态蜕变方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一形态以及该形态下的决定，与下一形态之间的函数联系。 §2基础观念、基础方程与最优化道理 6、阶段目标函数vk(sk, xk)：从形态sk启航，选取决定xk所出现的第k阶段目标□。 经过目标函数Vk,n(sk, xk, xk+1,…, xn)：从形态sk启航□，选取决定xk, xk+1, …, xn所出现的经过目标。动态筹备央浼经过目标具有可阔别 性□，即 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn) 称目标具有可加性□，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)×Vk+1(sk+1, xk+1, …, x

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